Suma de vectores: explicación y ejemplos
Al igual que la suma escalar, la suma de vectores implica poner dos o más vectores juntos. Más específicamente, cuando agrega vectores, está:
"Sumar los dos o más vectores usando la operación de suma para obtener un nuevo vector igual a la suma de los dos o más vectores".
En este tema, discutiremos la suma de vectores de los siguientes aspectos:
- ¿Qué es la suma de vectores?
- Cómo sumar vectores gráficamente
- Cómo sumar dos vectores
¿Qué es la suma de vectores?
Dos vectores, A y B, se pueden sumar usando la suma de vectores, y el vector resultante se puede escribir como:
R = A + B
Cómo sumar vectores gráficamente
Tenemos que considerar ambos componentes de un vector, a saber, la dirección y la magnitud cuando se usa la suma de vectores.
Tenga en cuenta que los dos vectores con la misma magnitud y dirección se pueden sumar como escalares.
En este tema, exploraremos métodos gráficos y matemáticos de suma de vectores, que incluyen:
- Suma de vectores mediante la regla de la cabeza a la cola
- Suma de vectores mediante el método del paralelogramo
- Suma de vectores usando los componentes
Suma de vectores mediante la regla de la cabeza a la cola
La suma de vectores se puede realizar utilizando el famoso método de la cabeza a la cola. De acuerdo con esta regla, se pueden sumar dos vectores colocándolos juntos de modo que la cabeza del primer vector se una a la cola del segundo vector. El vector de suma resultante se puede obtener uniendo la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector. Esto a veces también se conoce como el método triangular de suma de vectores.
La suma de vectores usando la regla de la cabeza a la cola se ilustra en la imagen a continuación. Los dos vectores P y Q se agregan usando el método de la cabeza a la cola, y podemos ver el triángulo formado por los dos vectores originales y el vector suma.
Primero, los dos vectores P y Q se colocan juntos de modo que la cabeza del vector P conecta la cola del vector Q. Luego, para encontrar la suma, un vector resultante R se dibuja de tal manera que conecta la cola de P a la cabeza de Q.
Matemáticamente, el vector suma o resultante, R, en la imagen de abajo se puede expresar como:
R = P + Q
Suma de vectores mediante el método del paralelogramo
Para comprender la suma de vectores usando el método del paralelogramo, consideraremos y explicaremos la figura a continuación.
Primero, dibuja los vectores dados, A y B, para tener el mismo punto inicial que se muestra en la imagen de abajo. Luego, dibuja un paralelogramo usando las copias de los vectores dados.
Segundo, dibuja la copia del vector B llamado B ', y colóquelo paralelo al vector B para conectara la cabeza del primer vector, A. Del mismo modo, dibuja una copia del vector A llamado A', y colóquelo paralelo a A para que su cola se conecte con la cabeza del vector B.
Finalmente, la resultante de los dos vectores, que es igual a la suma de vectores A y B, será la diagonal del paralelogramo. Se puede dibujar uniendo el punto inicial de los dos vectores. A y B a la cabeza de los vectores UNA' y B '.
En resumen, se requieren tres pasos para realizar la suma de vectores utilizando el método del paralelogramo:
Paso 1: coloque los dos vectores de modo que tengan un punto de partida común
Paso 2: Dibuja y completa el paralelogramo usando copias de los dos vectores originales
Paso 3: la diagonal del paralelogramo es igual a la suma de los dos vectores
Suma de vectores usando los componentes
Como sabemos, los vectores dados en coordenadas cartesianas se pueden descomponer en sus componentes horizontal y vertical. Por ejemplo, un vector P en un ángulo Φ, como se muestra en la imagen a continuación, se puede descomponer en sus componentes como:
Px, que representa el componente del vector P a lo largo del eje horizontal (eje x), y
Py, que representa el componente del vector P a lo largo del eje vertical (eje y).
Se puede ver que los tres vectores forman un triángulo rectángulo y que el vector P se puede expresar como:
P = Px + Py
Matemáticamente, los componentes de un vector también se pueden calcular usando la magnitud y el ángulo del vector dado.
Px = P cos Φ
Py = P pecado Φ
Además, también podemos determinar el vector resultante si se dan sus componentes horizontal y vertical. Por ejemplo, si los valores de Px y Py se dan, entonces podemos calcular la magnitud y el ángulo del vector P de la siguiente manera:
| P | = √ (Px) ^ 2 + (Py) ^ 2
Y el ángulo se puede encontrar como:
Φ = tan-1 (Py / Px)
Por tanto, en resumen, podemos determinar un vector resultante si se dan sus componentes. Alternativamente, si se da el vector en sí, podemos determinar los componentes usando las ecuaciones anteriores.
De manera similar, si los vectores se expresan en pares ordenados (vectores columna), podemos realizar la operación de suma en los vectores usando sus componentes. Por ejemplo, considere los dos vectores M y N dado como:
M = (m1, m2)
N = (n1, n2)
Realizar la suma de vectores en los dos vectores es equivalente a sumar los componentes xey respectivos de los dos vectores. Esto produce el vector resultante S:
S = M + N
S = (m1 + n1, m2 + n2).
Puede escribirse explícitamente como:
Sx = m1 + n1
Sy = m2 + n2.
La magnitud del vector resultante S se puede calcular como:
| S | = √ (Sx) ^ 2 + (Sy) ^ 2
Y el ángulo se puede calcular como:
Φ = tan-1 (Sy / Sx).
Cómo sumar dos vectores
Esta sección discutirá ejemplos de adición de vectores y sus soluciones paso a paso para practicar el uso de los diferentes métodos discutidos anteriormente.
Ejemplos
ejemplo 1
Dado que los dos vectores, A y B, como se muestra en la imagen a continuación, determinan gráficamente su suma utilizando el método de la cabeza a la cola.
Solución
El primer paso del método de la cabeza a la cola es colocar los vectores dados A y B tal que la cola del vector B se conecta a la cabeza del vector A, como se muestra en la imagen de abajo. A continuación, para encontrar su suma, dibujamos un vector resultante R para que conecte la cola del vector A a la cabeza del vector B. Matemáticamente, la resultante se puede expresar como:
R = A + B
ejemplo 2
Dados los dos vectores, AB = (3, 2) y BC = (2, 2), determine su suma usando la regla de la cabeza a la cola.
Solución
AB + BC = (3, 2) + (2, 2)
AB + BC = (3 + 2, 2 + 2)
AB + BC = (5, 4).
O como se muestra en la imagen a continuación, el vector resultante se puede escribir como:
AC = (5, 4)
Nota: Para usar la regla del triángulo / regla de la cabeza a la cola, la letra intermedia de los dos vectores que se agregan debe ser la misma:
AC = AB + BC
En este ejemplo, la letra intermedia es B.
La magnitud del vector resultante AC se puede encontrar de la siguiente manera:
|AC| = √ (ACx) ^ 2 + (ACY) ^ 2
|AC| = √ (5) ^ 2 + (4) ^ 2
|AC| = √ 25 + 16
|AC| = 6.403 unidades (aproximadamente).
El ángulo del vector resultante AC se puede encontrar de la siguiente manera:
Φ = tan-1 (ACy / ACx)
Φ = tan-1 (4/5)
Φ = tan-1 (4/5)
Φ = 38.66 grados
ejemplo 3
Dados dos vectores, S = 10 m, Φ = 30 grados y T = 20 m, Φ = 60 grados, determine su suma. Luego, calcule la magnitud y el ángulo del vector resultante usando el método de componentes.
Solución
Sea R el vector resultante igual a la suma de los vectores dados, que se puede expresar como:
R = S + T
Para usar el método de componentes, primero miramos las partes componentes de los vectores dados. El componente horizontal de S es:
Sx = S Cos Φ
Sx = 10 Cos 30
Sx = 8.660 m (aproximadamente)
Del mismo modo, para el componente vertical:
Sy = S Sin Φ
Sy = 10 Sin 30
Sy = 5 m
A continuación, calculamos los componentes del vector T:
Tx = T Cuerpo Φ
Ty = T Sin Φ
Dónde,
Tx = 20 Cos 60
Tx = 10m
Ty = 20 Sin 60
Ty = 17.320 (aproximadamente)
Ahora, podemos calcular el vector de suma sumando los componentes xey individuales de la S y T vector de la siguiente manera:
Rx = Sx + Tx
Rx = 8.660 + 10
Rx = 16.660 m
Ry = Sy + Ty
Ry = 5 + 17.32
Ry = 22.320 m
El vector resultante R se puede expresar en forma de columna como:
R = (16.66, 22.32).
Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante se pueden encontrar como:
| R | = √ (16.66) ^ 2 + (22.32) ^ 2
| R | = 23.292 m (aproximadamente)
Φ = tan-1 (Ry / Rx)
Φ = tan-1 (22.32/16.66)
Φ = 53.26 grados (aproximadamente)
Por tanto, el vector suma resultante es:
R = 23.292 m, Φ = 53.26 grados.
ejemplo 4
Un viajero camina P = 20 m recto al oeste y luego Q = 10 m en línea recta hacia el norte. Determine qué tan lejos está el viajero del punto de partida. Además, proporcione la magnitud y el ángulo del vector resultante.
Solución
Primero, representamos gráficamente los vectores de desplazamiento dados P y Q y luego dibujamos su vector resultante usando la regla de la cabeza a la cola, como se muestra en la imagen a continuación. Es obvio por la imagen que el viajero recorrió una distancia igual a la magnitud del vector R desde el punto de partida.
Ahora, para calcular matemáticamente el vector resultante, usamos las siguientes fórmulas:
R = P + Q
| R | = √ (20) ^ 2 + (10) ^ 2
| R | = 22.36 m (aproximadamente)
Y el ángulo se puede calcular como:
Φ = tan-1 (10/20)
Φ = 26.57 grados
Así, el viajero recorrió una distancia de 22.36 m desde el punto de partida en un ángulo de 26.57 grados hacia el noroeste.
ejemplo 5
Determine el vector suma resultante para los dos vectores A = (-5, -1) y B = (2, -1).
Solución
Los vectores dados ya están en su forma componente, por lo que primero determinamos sus ángulos.
Para el vector A:
Φ = tan-1 (Ay / Ax)
Φ = tan-1 (-1 / -5)
Φ = 11.31 grados.
Para el vector B:
Φ = tan-1 (Por / Bx)
Φ = tan-1 (-1/2)
Φ = -26.57 grados.
A continuación, encontramos el vector resultante sumando los componentes individuales:
S = A + B
Sx = Hacha + Bx
Sx = -5 + 2
Sx = -3
Sy = Ay + By
Sy = -1 -1
Sy = -2
El vector resultante S se puede expresar como el vector de columna:
S = (-3, -2).
Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante son:
| S | = √ (-3) ^ 2 + (-2) ^ 2
| S | = 3.605 unidades (aproximadamente)
Φ = tan-1 (Sy / Sx)
Φ = tan-1 (-2 / -3)
Φ = 33.69 grados
Por tanto, el vector suma resultante es:
S = 3.605 unidades, Φ = 33.69 grados.
ejemplo 6
Dados los dos vectores PQ y QR, como se muestra en la imagen de abajo, calcule el valor de su suma, el vector PR.
Solución
A partir de la imagen dada, el vector resultante se puede dar como:
PQ + QR = (2, 3) + (2, -2)
PQ + QR = (4, 1).
También se puede escribir como:
PR = (4, 1)
La magnitud del vector resultante PR se puede encontrar usando las siguientes ecuaciones:
|PR| = √ (4) ^ 2 + (1) ^ 2
|PR| = √ 17
|PR| = 4.123 unidades (aproximadamente)
El ángulo del vector resultante PR se puede encontrar de la siguiente manera:
Φ = tan-1 (1/4)
Φ = 14.04 grados
Preguntas de práctica
- Dados dos vectores, V = (2, 5) y C = (3, -2), determine su suma usando la regla de la cabeza a la cola. Además, determine la magnitud y el ángulo del vector resultante, R.
- Dados los dos vectores G = (5, 5) y H = (4, -10), determina su suma usando la regla cabeza-yo-cola. Además, determine la magnitud y el ángulo del vector resultante, P.
- Dados los vectores OA, dónde O = (-1, 3) y A = (5,2), y el vector UV, donde U = (1, -2) y V = (-2,2), determine el vector suma resultante S. Luego, encuentra su magnitud y ángulo.
- Dado el cuadrilátero ABCD, determine lo siguiente:
- DC + CA =?
- BD + DC =?
- AD + DC =?
- M = 10 m Este y N = 15 m norte. Determine la suma de los dos vectores, luego encuentre la magnitud y el ángulo del vector resultante.
respuestas
- El vector resultante R is R = (5, 3), la magnitud de R es |R| = 5.830 unidades y el ángulo es Φ = 30.96 grados.
- El vector resultante P is P = (9, 5), la magnitud de P es |P| = 10. 30 unidades y el ángulo es Φ = 29.05 grados.
- Los vectores son OA = (6, -1) y UV = (-3, 4), el vector suma resultante S se da como S = (3, 3), magnitud de S es |S| = 4.242 unidades y el ángulo es Φ = 45 grados.
- En el cuadrilátero dado, la suma se calcula como:
DC + CA = DA
BD + DC = BC
AD + DC = AC
- La resultante de los dos vectores es:
R = M + N
| R | = 18.027 m,
Y el ángulo se puede calcular como:
Φ = tan-1 (15/10)
Φ = 56.30 grados.
Por tanto, el vector resultante es R = 18.027 m, Φ = 56.30 grados noreste.
FAQs
¿Qué es la suma de vectores y ejemplo? ›
Para sumar los vectores (x₁,y₁) y (x₂,y₂), sumamos los componentes correspondientes de cada vector: (x₁+x₂,y₁+y₂). He aquí un ejemplo concreto: la suma de (2,4) y (1,5) es (2+1,4+5), que es (3,9).
¿Cómo explicar la suma de vectores? ›La suma de vectores es formar una cadena de vectores donde el vector que engloba a todos los vectores es el vector de la suma. En otras palabras, la suma de vectores es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa.
¿Cómo se realiza la suma de vectores por componentes? ›El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante.
¿Cómo explicar la suma y resta de vectores? ›se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
¿Cómo se resuelven los ejercicios de vectores? ›PROBLEMAS de VECTORES | BIEN EXPLICADO!! | FÍSICA - YouTube
¿Cuáles son los metodos que se utilizan para sumar vectores? ›De forma gráfica, la suma de dos vectores y nos dará como resultado otro vector que podemos obtener mediante 2 métodos distintos: el método de la cabeza con cola (o del extremo con origen) y la regla del paralelogramo.
¿Qué es la resta de vectores ejemplos? ›Un ejemplo
Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). Así, el resultado de esta resta de vectores es (-8, 6). La resta de vectores es una operación que puede resultar compleja.
Suma y resta de vectores gráficamente - YouTube
¿Cómo es el procedimiento los pasos para realizar la suma de vectores aplicando el metodo del paralelogramo y Metoddo del polígono? ›Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala, con el punto de aplicación común. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos. El vector suma resultante (a+b) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.
¿Cuáles son las propiedades de la suma de los vectores? ›La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números: propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w) existencia de elemento neutro, que es el vector nulo (0,0,0), para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z)
¿Cuáles son los elementos de la suma? ›
Al realizar una operación de suma se tienen dos partes o elementos: Sumandos: Corresponde a los números a sumar. Suma: Es el resultado suma o total.
¿Qué es un vector y ejercicios? ›Un vector es un ente matemático, como el punto, la recto o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta orientado (una flecha), y tiene siempre 3 elementos muy importantes: módulo, dirección y sentido. Veamos otros detalles y también, algunos ejercicios resueltos.
¿Cómo se hacen los vectores? ›Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más. Tienen un punto desde el que nace la flecha llamado origen o punto de aplicación.
¿Cómo se calculan los vectores en fisica? ›Para calcular la componente x del vector, realizamos la resta de la coordenada x del extremo, menos la coordenada x del origen. De la misma forma, para calcular la componente «y» del vector, realizamos la resta de la coordenada «y» del extremo menos la coordenada «y» del origen.
¿Cuál es el procedimiento para sumar vectores consecutivos y concurrentes? ›Para calcular la suma gráficamente, el método es el siguiente. A continuación del vector A se traslada el B para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
¿Qué es y para qué sirve un vector? ›En términos físicos, un vector es un segmento de una recta en el espacio. Este segmento parte de un punto hacia otro. Tiene una dirección y un sentido. Su función es expresar las magnitudes vectoriales.
¿Cuáles son las tres características de un vector? ›Representación de un vector. Los vectores tienen ciertas características que nos permiten diferenciarlos entre sí, estas son: Módulo o magnitud, dirección y sentido, como se muestra en la siguiente imagen: Figura 2.
¿Cuál es la importancia de los vectores? ›Los vectores son importantes porque indican la intensidad, dirección y el sentido en el que se está aplicando esta fuerza. Para definir las magnitudes escalares solo se requiere la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida.
¿Qué es la resta de vectores ejemplos? ›Un ejemplo
Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). Así, el resultado de esta resta de vectores es (-8, 6). La resta de vectores es una operación que puede resultar compleja.
La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números: propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w) existencia de elemento neutro, que es el vector nulo (0,0,0), para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z)
¿Cómo se hace la suma de tres vectores? ›
Suma de vectores método gráfico | Ejemplo 3 - YouTube
¿Cómo sumar y restar vectores de forma grafica? ›Suma y resta de vectores gráficamente - YouTube
¿Cuáles son las 4 propiedades de un vector? ›Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad distributiva y el inverso aditivo. La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma.
¿Cómo se llama la suma de todos los vectores? ›La suma se conoce con el nombre de fuerza resultante. Los vectores se pueden sumar de dos maneras. Una es utilizando el método gráfico ( Ver ejemplo. ) y la otra es mediante la suma de las componentes o coordenadas de cada vector.